O cruzamento de duas cordas na circunferência gera segmentos proporcionais, e a multiplicação entre as medidas das duas partes de uma corda é igual à multiplicação das medidas das duas partes da outra corda. Observe:
AP * PC = BP * PD
Exemplo 1
x * 6 = 24 * 8
6x = 192
x = 192/6
x = 32
Relação entre duas Secantes
Em qualquer circunferência, quando traçamos dois segmentos secantes, partindo de um mesmo ponto, a multiplicação da medida de um deles pela medida de sua parte externa é igual à multiplicação da medida do outro segmento pela medida de sua parte externa. Observe:
RP * RQ = RT * RS
Exemplo 2
x* (42 + x) = 10 * (30 + 10)
x2 + 42x = 400
x2 + 42x – 400 = 0
Aplicando a forma resolutiva de uma equação do 2º grau:
Os resultados obtidos são x’ = 8 e x’’ = – 50. Como estamos trabalhando com medidas, devemos considerar somente o valor positivo x = 8.
Relação entre uma Tangente e uma Secante
Nesse caso, o quadrado da medida do segmento tangente é igual à multiplicação da medida do segmento secante pela medida de sua parte externa.
(PQ)2 = PS * PR
Exemplo 3
x2 = 6 * (18 + 6)
x2 = 6 * 24
x2 = 144
√x2 = √144
x = 12
Esse blog é para ensinar e aprender todos os assuntos estudados de matemática do Colégio Elizabeth Souza, com o professor Luciano Reis , 8 série ( 9 ano)
quinta-feira, 4 de novembro de 2010
terça-feira, 26 de outubro de 2010
Relações Trigométricas no Triângulo Retângulo
As relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo admitem três casos: seno, cosseno e tangente.
Vamos determinar as relações de acordo com o triângulo BAC com lados medindo a, b e c.
senoB = b/a
cossenoB = c/a
tangenteB = b/c
senoC = c/a
cossenoC = b/a
tangenteC = c/b
A trigonometria possui diversas aplicações no cotidiano, abrange áreas relacionadas à Astronomia, Física, Geometria, Navegação entre outras
Vamos determinar as relações de acordo com o triângulo BAC com lados medindo a, b e c.
senoB = b/a
cossenoB = c/a
tangenteB = b/c
senoC = c/a
cossenoC = b/a
tangenteC = c/b
A trigonometria possui diversas aplicações no cotidiano, abrange áreas relacionadas à Astronomia, Física, Geometria, Navegação entre outras
quarta-feira, 13 de outubro de 2010
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares, aqueles que formam um ângulo de 90º, são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo de 90º recebe o nome de hipotenusa. O teorema de Pitágoras é aplicado ao triângulo retângulo e diz que: hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos, a² = c² + c².
Observe os triângulos:
Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes:
h² = mn b² = ma c² = an bc = ah
Observe os triângulos:
Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes:
h² = mn b² = ma c² = an bc = ah
quinta-feira, 7 de outubro de 2010
A Evação Escolar para o ECA
Para o Eca a falta de interesse pela escola é o principal motivo que leva o jovem brasileiro a evadir, 40% dos jovens de 15 a 17 anos que evadem deixam de estudar simplesmente porque acreditam que a escola é desinteressante.O desinteresse do jovem pela escola reflete a falta de demanda por Educação.Para o Ministro da Educação e o ECA uma das medidas para acabar com a evasão escolar é a reformulação da educação no Brasil, principalmente do ensino médio. Segundo a Lei de Diretrizes e Bases da Educação (LDB9394/96) e o Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA), um número elevado de faltas sem justificativa e a evasão escolar ferem os direitos das crianças e dos adolescentes. Nesse sentido, cabe a instituição escolar valer-se de todos os recursos dos quais disponha para garantir a permanência dos alunos na escola. Prevê ainda a legislação que esgotados os recursos da escola, a mesma deve informar o Conselho Tutelar do Município sobre os casos de faltas excessivas não justificadas e de evasão escolar, para que o Conselho tome as medidas cabíveis.
Estatuto da Criança e do Adolescente. Lei nº. 8069, de 13 de julho de 1990
Estatuto da Criança e do Adolescente. Lei nº. 8069, de 13 de julho de 1990
sábado, 2 de outubro de 2010
Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras descreve uma relação existente no triângulo retângulo.O triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:
Catetos: a e b
Hipotenusa: c
O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”
a² + b² = c²
Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.
x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15
Exemplo 2
Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:
x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15
Exemplo 3
Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:
Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?
Pelo Teorema de Pitágoras temos:
x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)
Catetos: a e b
Hipotenusa: c
O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”
a² + b² = c²
Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.
x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15
Exemplo 2
Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:
x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15
Exemplo 3
Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:
Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?
Pelo Teorema de Pitágoras temos:
x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)
quinta-feira, 23 de setembro de 2010
Polígonos Semelhantes
Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.
Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST.
Observamos que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas aqui por, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes são proporcionais.
AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2
Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por :
ABC ~ DEF
Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST.
Observamos que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas aqui por, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes são proporcionais.
AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2
Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por :
ABC ~ DEF
quarta-feira, 22 de setembro de 2010
Teorema de Tales no Triângulo
domingo, 19 de setembro de 2010
Teorema de Tales
O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de correspondência:
“Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes”.
Para compreender melhor o teorema observe o esquema representativo a seguir:
Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação:
Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:
AB = 2x – 3
BC = x + 2
A’B’ = 5
B’C’ = 6
Determinando o valor de x:
AB = 2x – 3 → 2*4 – 3 = 5
BC = x + 2 → 4 + 2 = 6
Determine o valor de x na figura a seguir:
“Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes”.
Para compreender melhor o teorema observe o esquema representativo a seguir:
Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação:
Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:
AB = 2x – 3
BC = x + 2
A’B’ = 5
B’C’ = 6
Determinando o valor de x:
AB = 2x – 3 → 2*4 – 3 = 5
BC = x + 2 → 4 + 2 = 6
Determine o valor de x na figura a seguir:
quarta-feira, 4 de agosto de 2010
Ponto Máximo e Ponto Mínino
Toda expressão na forma y = ax² + bx + c com a, b e c números reais, sendo a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. A representação gráfica de uma função do 2º grau é dada através de uma parábola, que pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo. Veja:
Para determinarmos o ponto máximo e o ponto mínimo de uma função do 2º grau basta calcular o vértice da parábola utilizando as seguintes expressões matemáticas:
O ponto máximo e o ponto mínimo podem ser atribuídos a várias situações presentes em outras ciências, como Física, Biologia, Administração, Contabilidade entre outras.
Física: movimento uniformemente variado, lançamento de projéteis.
Biologia: na análise do processo de fotossíntese.
Administração: Estabelecendo pontos de nivelamento, lucros e prejuízos
Exemplos
1 – Na função y = x² - 2x +1, temos que a = 1, b = -2 e c = 1. Podemos verificar que
a > 0, então a parábola possui concavidade voltada para cima possuindo ponto mínimo. Vamos calcular as coordenadas do vértice da parábola.
As coordenadas do vértice são (1, 0).
2 – Dada a função y = -x² -x + 3, temos que a = -1, b = -1 e c = 3. Temos a < 0, então a parábola possui concavidade voltada para baixo tendo um ponto máximo. Os vértices da parábola podem ser calculados da seguinte maneira:
Concluímos que o vértice da parábola deve ser considerado um ponto notável, em razão da sua importância na construção do gráfico de uma função do 2º grau e sua relação com os pontos de valor máximo e mínimo.
Para determinarmos o ponto máximo e o ponto mínimo de uma função do 2º grau basta calcular o vértice da parábola utilizando as seguintes expressões matemáticas:
O ponto máximo e o ponto mínimo podem ser atribuídos a várias situações presentes em outras ciências, como Física, Biologia, Administração, Contabilidade entre outras.
Física: movimento uniformemente variado, lançamento de projéteis.
Biologia: na análise do processo de fotossíntese.
Administração: Estabelecendo pontos de nivelamento, lucros e prejuízos
Exemplos
1 – Na função y = x² - 2x +1, temos que a = 1, b = -2 e c = 1. Podemos verificar que
a > 0, então a parábola possui concavidade voltada para cima possuindo ponto mínimo. Vamos calcular as coordenadas do vértice da parábola.
As coordenadas do vértice são (1, 0).
2 – Dada a função y = -x² -x + 3, temos que a = -1, b = -1 e c = 3. Temos a < 0, então a parábola possui concavidade voltada para baixo tendo um ponto máximo. Os vértices da parábola podem ser calculados da seguinte maneira:
Concluímos que o vértice da parábola deve ser considerado um ponto notável, em razão da sua importância na construção do gráfico de uma função do 2º grau e sua relação com os pontos de valor máximo e mínimo.
sábado, 24 de julho de 2010
Função do 2º Grau
Toda função estabelecida pela lei de formação y = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando temos:
As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo e etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas construções
A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.
As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dada a função y = ax² + bx + c, se y = 0, obtemos uma equação do 2º grau,
ax² + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante ∆(delta), podemos ter as seguintes situações gráficas:
∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.
∆ = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.
∆ < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.
As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo e etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas construções
A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.
As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dada a função y = ax² + bx + c, se y = 0, obtemos uma equação do 2º grau,
ax² + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante ∆(delta), podemos ter as seguintes situações gráficas:
∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.
∆ = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.
∆ < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.
terça-feira, 6 de julho de 2010
Equações Irracionais
Toda equação que apresenta a variável em um radicando é considerada uma equação irracional. Observe os exemplos:
Resolvendo uma equação irracional:
1º passo: isolar o radical
2º passo: elevar os dois membros da equação ao quadrado
3º passo: organizar a equação
x2 - 10x +25 – x – 7 = 0
x2 - 11x + 18 = 0
4º passo: resolver a equação x2 - 11x + 18 = 0, aplicando o teorema de Bháskara.
∆ = (-11)2 - 4 * 1 * 18
∆ = 121 - 72
∆ = 49
x’ = (11+7)/2 = 9
x” = (11 – 7)/2 = 2
5º passo: substituir as raízes na equação original e verificar a igualdade.
x = 9
Portanto, 9 não serve
x = 2
A única solução da equação é 2
Resolvendo uma equação irracional:
1º passo: isolar o radical
2º passo: elevar os dois membros da equação ao quadrado
3º passo: organizar a equação
x2 - 10x +25 – x – 7 = 0
x2 - 11x + 18 = 0
4º passo: resolver a equação x2 - 11x + 18 = 0, aplicando o teorema de Bháskara.
∆ = (-11)2 - 4 * 1 * 18
∆ = 121 - 72
∆ = 49
x’ = (11+7)/2 = 9
x” = (11 – 7)/2 = 2
5º passo: substituir as raízes na equação original e verificar a igualdade.
x = 9
Portanto, 9 não serve
x = 2
A única solução da equação é 2
segunda-feira, 14 de junho de 2010
Soma e Produto das raízes de uma equação do 2º grau
Soma e Produto das raízes de uma equação do 2º grau
Na resolução de uma equação do 2º grau temos três possibilidades de resultados, podemos encontrar duas raízes reais diferentes, duas raízes reais iguais ou nenhuma raiz real.
Quando existir raiz real na resolução de equações do 2º grau, podemos fazer relações entre essas raízes, como: soma (x’ + x”) e produto (x’ . x”).
ax2 + bx + c = 0
Dessa forma geral, podemos encontrar duas raízes reais x’ e x”, utilizando Bháskara
Quando existir raiz real na resolução de equações do 2º grau, podemos fazer relações entre essas raízes, como: soma (x’ + x”) e produto (x’ . x”).
ax2 + bx + c = 0
Dessa forma geral, podemos encontrar duas raízes reais x’ e x”, utilizando Bháskara
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