Relações Métricas na Circunferência

O cruzamento de duas cordas na circunferência gera segmentos proporcionais, e a multiplicação entre as medidas das duas partes de uma corda é igual à multiplicação das medidas das duas partes da outra corda. Observe:


AP * PC = BP * PD

Exemplo 1



x * 6 = 24 * 8
6x = 192
x = 192/6
x = 32


Relação entre duas Secantes

Em qualquer circunferência, quando traçamos dois segmentos secantes, partindo de um mesmo ponto, a multiplicação da medida de um deles pela medida de sua parte externa é igual à multiplicação da medida do outro segmento pela medida de sua parte externa. Observe:


RP * RQ = RT * RS

Exemplo 2


x* (42 + x) = 10 * (30 + 10)
x2 + 42x = 400
x2 + 42x – 400 = 0

Aplicando a forma resolutiva de uma equação do 2º grau:



Os resultados obtidos são x’ = 8 e x’’ = – 50. Como estamos trabalhando com medidas, devemos considerar somente o valor positivo x = 8.


Relação entre uma Tangente e uma Secante

Nesse caso, o quadrado da medida do segmento tangente é igual à multiplicação da medida do segmento secante pela medida de sua parte externa.



(PQ)2 = PS * PR

Exemplo 3



x2 = 6 * (18 + 6)
x2 = 6 * 24
x2 = 144
√x2 = √144
x = 12

Relações Trigométricas no Triângulo Retângulo

As relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo admitem três casos: seno, cosseno e tangente.


Vamos determinar as relações de acordo com o triângulo BAC com lados medindo a, b e c.


senoB = b/a
cossenoB = c/a
tangenteB = b/c

senoC = c/a
cossenoC = b/a
tangenteC = c/b

A trigonometria possui diversas aplicações no cotidiano, abrange áreas relacionadas à Astronomia, Física, Geometria, Navegação entre outras

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares, aqueles que formam um ângulo de 90º, são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo de 90º recebe o nome de hipotenusa. O teorema de Pitágoras é aplicado ao triângulo retângulo e diz que: hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos, a² = c² + c².

Observe os triângulos:


Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes:


h² = mn b² = ma c² = an bc = ah

A Evação Escolar para o ECA

Para o Eca a falta de interesse pela escola é o principal motivo que leva o jovem brasileiro a evadir, 40% dos jovens de 15 a 17 anos que evadem deixam de estudar simplesmente porque acreditam que a escola é desinteressante.O desinteresse do jovem pela escola reflete a falta de demanda por Educação.Para o Ministro da Educação e o ECA uma das medidas para acabar com a evasão escolar é a reformulação da educação no Brasil, principalmente do ensino médio. Segundo a Lei de Diretrizes e Bases da Educação (LDB9394/96) e o Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA), um número elevado de faltas sem justificativa e a evasão escolar ferem os direitos das crianças e dos adolescentes. Nesse sentido, cabe a instituição escolar valer-se de todos os recursos dos quais disponha para garantir a permanência dos alunos na escola. Prevê ainda a legislação que esgotados os recursos da escola, a mesma deve informar o Conselho Tutelar do Município sobre os casos de faltas excessivas não justificadas e de evasão escolar, para que o Conselho tome as medidas cabíveis.

Estatuto da Criança e do Adolescente. Lei nº. 8069, de 13 de julho de 1990

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras descreve uma relação existente no triângulo retângulo.O triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:

Catetos: a e b
Hipotenusa: c


O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

a² + b² = c²

Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.



x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15

Exemplo 2
Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:



x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15

Exemplo 3
Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:


Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?


Pelo Teorema de Pitágoras temos:

x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)

Polígonos Semelhantes

Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.

Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST.



Observamos que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas aqui por, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes são proporcionais.

AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2
Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por :
ABC ~ DEF

Teorema de Tales no Triângulo

Teorema de Tales no Triãngulo é a mesma coisa do assunto anterior ( Teorema de Tale) só que a agora é com figuras geométrica. Veja o exemplo: